几何体的外接球与内切球

一、外接球问题

简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题,其中球心的确定是关键.

(一)由球的定义确定球心

在空间,如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心.

由上述性质,可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论.

结论1:正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点.

结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点.

结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点.

结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到.

结论5:若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形,则公共斜边的中点就是其外接球的球心.

(二)构造正方体或长方体确定球心

长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处.以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法.

途径1:正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体.

途径2:同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体.

途径3:若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体.

途径4:若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.

(三) 由性质确定球心

利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心.

二、内切球问题

若一个多面体的各面都与一个球的球面相切, 则称这个多面体是这个球的外切多面体,这个球是这个多面体的内切球。

1、内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。

2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不重合。

4、基本方法:构造三角形利用相似比和勾股定理。

5、体积分割是求内切球半径的通用做法。